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虚假诉讼如果构成犯罪的，应该由公安机关负责立案侦查。
根据刑法的规定，以捏造的事实提起民事诉讼，妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益的，构成虚假诉讼罪，应追究刑事责任。
【法律依据】
《刑法》第三百零七条之一，以捏造的事实提起民事诉讼，妨害司法秩序或者严重侵害他人合法权益的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金;情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
